墓碑上的蝌蚪文，已经没有办法辨认了，兰陵不认识，古青鸟也不认识。

古青鸟好奇道：“这个人既然留下了这个墓碑，难道不是想让人知道他是谁，到底在这儿留下了什么吗？但是用蝌蚪文写墓志铭，谁能看得懂？”

“那就只有一种可能了。”兰陵说道：“就是这个人想要留下的东西只有专门的 人看得懂，我是不知道这个专门的人到底是谁，但是绝对不是我们俩。”

古青鸟点点头，表示好像是这样：“但是我们现在怎么找到通往那个空间的门户？”

兰陵想了想说：“周围一定会有什么痕迹，能量的痕迹或者什么卡关的痕迹，我们好好找一找。”

事到如今，大概也就只能这样了，古青鸟和兰陵分开来，沿着坑洞的边缘朝两个方向一边走一边找，寻找一些线索。

很快地，古青鸟就发现，这个坑洞好像并不是一个规则的圆形，而是一个很多边的多边形。

由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。“圆，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在（2019年）所熟悉的公式。

为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上着名的“割圆术”。数学意义

“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率。

刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢？它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运，这是个不变的“常数”！我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。

根据“圆周长/圆直径=圆周率”，那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）。因此“圆周长公式”根本就不用背的，只要有小学知识，知道“圆周率的含义”，就可自行推导计算。也许大家都知道“圆周率和π”，但它的“含义及作用”往往被忽略，这也就是割圆术的意义所在。

由于“圆周率=圆周长/圆直径”，其中“直径”是直的，好测量；难计算精确的是“圆周长”。而通过刘徽的“割圆术”，这个难题解决了。只要认真、耐心地精算出圆周长，就可得出较为精确的“圆周率”了。——众所周知，在中国祖冲之最终完成了这个工作。

发展历史编辑

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为3：1）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

第二百九十八章

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.1415和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个是“密率”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。

基本算法编辑

根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。同时，它与两个小黄三角形的面积和相等。刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积。

利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。

圆周率的三角函数算法

圆周率的三角函数算法

π=lim(n→∞）1/2*sin(360°/n)*n

思想价值编辑

第二百九十八章

在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想，一个就是我们现在所讲的极限思想。那么第二步，更关键的一步，他把与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是圆面积的两倍。那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积。所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂。那么他的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”。最后完全证明了圆面积公式， 　证明了圆面积公式，也就证明了“周三径一”的不精确。随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。在刘徽之前古希腊数学家阿基米德也曾研究过求解圆周率的问题。

刘徽所处的时代是社会上军阀割据，特别当时是魏、蜀、吴三国割据，那么在这个时候中国的社会、政治、经济发生了极大的变化，特别是思想界，文人学士们互相进行辩难，所以当时成为辩难之风，一帮文人学士找到一块，就像我们大专辩论会那样，一个正方一个反方，提出一个命题来大家互相辩论，在辩论的时候人们就要研究讨论关于辩论的技术，思维的规律，所以在这一段人们的思想解放，应该说是在春秋战国之后没有过的，这时人们对思维规律研究特别发达，有人认为这时人们的抽象思维能力远远超过春秋战国。 　刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源，作为自己从事数学研究的最高任务。他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”。“析理”就是当时学者们互相辩难的代名词。刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系。众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系。然而，刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市 [1] 人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。在中国数学史上作出了极大的贡献，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。刘徽在曹魏景初四年注《九章算术注》。

但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位。

”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提．他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的着作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。

第二百九十八章

刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

刘徽的数学成就大致为两方面：

一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：

①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。

③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

面积与体积理论

用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。

重差术

在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。

其代表作《九章算术注》是对《九章算术》一书的注解。《九章算术》是中国流传至今最古老的数学专着之一，它成书于西汉时期。这部书的完成经过了一段历史过程，书中所收集的各种数学问题，有些是秦以前流传的问题，长期以来经过多人删补、修订，最后由西汉时期的数学家整理完成。现今流传的定本的内容在东汉之前已经形成。《九章算术》是中国最重要的一部经典数学着作，它的完成奠定了中国古代数学发展的基础，在中国数学史上占有极为重要的地位。现传本《九章算术》共收集了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。

《九章算术》的产生是社会发展和数学知识长期积累的结果，它汇集了不同时期数学家的劳动成果。三国时的数学家刘徽认为：“周公制礼有九数，九数之流，则《九章》是矣。……汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论多近语也。”根据刘徽的考证结果，《九章算术》源于周公时代的“九数”，而他所见到的《九章算术》是西汉时的张苍、耿寿昌在先秦遗文的基础上删补而成的，其中包括了大量西汉时补充的内容。根据历史文献和出土文物资料来分析，刘徽所言是可信的。《九章算术》所包含的各种算法是汉朝数学家们在秦以前流传下来的数学基础上，适应当时的需要补充修订而成的。按照刘徽的考证，张苍和耿寿昌都是参加过修订工作的主要数学家。《史记·张丞相列传》记载，张苍（约前250～前152）经历了秦、汉两个朝代，他在高帝六年（前201）以攻藏茶有功封为北平侯。“自秦时为柱下史，明天下图书计籍。又善用算律历。”他还“着书18篇，言阴阳律历事。”耿寿昌的生年年代不详，汉宣帝时官至大司农中丞，“以善为算，能商功利”得宠于皇帝（见《汉书·食货志》）。他于天文学主张浑天说，甘露二年（前52）奏“以圆仪度日月行，考验天运状”（见《后汉书·律历志》）。张苍和耿寿昌都是数学名家，又身居高位，由他们主持修订先秦流传下来的《算术》是很自然的事情。根据刘徽的记载，他所注释的《九章算术》最后是由耿寿昌删定的。我们认为耿寿昌删补《九章算术》的年代可以定为这部书完成的年代。

马援传》有马续（约70～141）“博观群籍，善九章算术”负记载。此外，史书中还有郑玄（127～200）、刘洪等人“通九章算术”的记述。可知该书是当时学习数学的重要教材，在东汉光和二年（179）一块铜版上的铭文规定：“大司农以戊寅（138？）诏书，……特更为诸州作铜斗、斜、称。依黄钟律历，《九章算术》以均长短、轻重、大小，以齐七政，令海内都同。”这说明该书在东汉时期不仅广为流传，而且度量衡研制涉及的数学问题也要以书中的算法为依据。许商、杜志可能是《九章算书》成书后最早研究过该书的数学家。许商、杜志都是西汉后期的数学家。《汉书·艺文志》着录有《许商算术》26卷、《杜志算术》16卷。这两部书都是汉成帝三年（前26）尹咸校对数术着作之前撰写的。许商、杜志的着作完成年代与耿寿昌删补《九章算术》的年代相去不远，他们的数学着作应当是在研究了《九章算术》的基础上完成的。

第二百九十八章

《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，对世界数学的发展也有着重要的贡献。分数理论及其完整的算法，比例和比例分配算法，面积和体积算法，以及各类应用问题的解法，在书中的方田、粟米、衰分、商功、均输等章已有了相当详备的叙述。而少广、盈不足、方程、勾股等章中的开立方法、盈不足术（双假设法）、正负数概念、线性联立方程组解法、整数勾股弦的一般公式等内容都是世界数学史上的卓越成就。 传本《九章算术》有刘徽注和唐李淳风等的注释。刘徽是中国古代杰出的数学家，他生活在三国时代的魏国。《隋书·律历志》论历代量制引商功章注，说“魏陈留王景元四年（263）刘徽注《九章》。”他的生平不可详考。刘徽的《九章》注不仅在整理古代数学体系和完善古算 理论方面取得了重要成就，而且提出了丰富多彩的创见和发明。刘徽在算术、代数、几何等方面都有杰出的贡献。例如，他用比率理论建立了数与式的统一的理论基础，他应用了出入相补原理和极限方法解决了许多面积和体积问题，建立了独具风格的面积和体积理论。他对《九章》中的许多结论给出了严格的证明，他的一些方法对后世有很大启发，即使对现今数学也有可借鉴之处。

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

圆周率用希腊字母 π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。 [1]

1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专着，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式 [2] 。

2019年3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。

实验时期

一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。 [4] 同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。 [4] 埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。 英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名着《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨着《百道梵书》（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。 [5]

几何法时期

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3. 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。

中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取 。 [6] 汉朝时，张衡得出 ，即 （约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率 。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.和过剩近似值3.，还得到两个近似分数值，密率 和约率 。密率是个很好的分数近似值，要取到 才能得出比 略准确的近似。 [8] （参见丢番图逼近）

在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托（Valentinus Otho）得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius）的着作中，欧洲称之为Metius' number。

约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为 。婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。

阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

Numerical Integrator And Computer）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）演算法，亦称高斯-勒让德演算法。

1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。

2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。